GESP 5级 · 位移运算

📖概念讲解

【考点 · 5级】位移运算：左移 << 和右移 >>，属于位运算类，是二进制层面的操作。

【说人话】

左移 n << k 就是把 n 的二进制位往左搬 k 位，右边补 0，效果等于 n × 2^k。右移 n >> k 就是往右搬 k 位，左边补符号位（算术右移），效果等于 n ÷ 2^k（向下取整）。

核心要点：

n << k 等价于 n * (1 << k)，等价于 n * pow(2, k)
n >> k 等价于 n / (1 << k)（整数除法，自动向下取整）
位移比乘除法快得多，竞赛中经常用来加速
⚠️ n << 32 对 32 位 int 未定义行为，要小心移位量超过类型位宽

💻代码示例

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int a = 5;              // 二进制 101
    // 左移：5 << 1 = 10  (相当于 ×2)
    cout << "5 << 1 = " << (a << 1) << endl;  // 左移1位 = ×2
    // 左移：5 << 3 = 40  (相当于 ×8)
    cout << "5 << 3 = " << (a << 3) << endl;  // 左移3位 = ×8
    // 右移：40 >> 3 = 5  (相当于 ÷8)
    cout << "40 >> 3 = " << (40 >> 3) << endl; // 右移3位 = ÷8
    // 快速计算 2 的幂次：1 << n = 2^n
    cout << "2^10 = " << (1 << 10) << endl; // 1左移10位 = 1024
    // 右移奇数：7 >> 1 = 3（不是3.5，向下取整）
    cout << "7 >> 1 = " << (7 >> 1) << endl;   // 右移1位 = ÷2向下取整
    // 判断奇偶：n & 1 等价于 n % 2
    int n = 13;
    cout << n << " 是" << ((n & 1) ? "奇数" : "偶数") << endl; // &1判断末位
    return 0;
}
// 输出: 5 << 1 = 10
//       5 << 3 = 40
//       40 >> 3 = 5
//       2^10 = 1024
//       7 >> 1 = 3
//       13 是奇数

🧩互动小测

Q1: `8 >> 2` 的结果是？

Q2: `1 << 5` 的结果是？

Q3: `15 >> 1` 的结果是？

🏋️动手练一练

📝 编程练习

给定一个正整数 n，用位移运算输出：
1. n 左移 1 位的结果
2. n 右移 2 位的结果
3. 用 (1 << k) 计算并输出 2^k（k 从 0 到 9）

提示：左移 = ×2的幂，右移 = ÷2的幂（向下取整），1 << k 就是 2^k。

参考答案：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;                    // 读入一个正整数

    cout << "n << 1 = " << (n << 1) << endl;  // 左移1位 = n*2
    cout << "n >> 2 = " << (n >> 2) << endl;  // 右移2位 = n/4向下取整

    for (int k = 0; k <= 9; k++) {    // 遍历 k=0~9
        cout << "2^" << k << " = " << (1 << k) << endl;  // 1左移k位
    }
    return 0;
}

要点：位移运算本质是二进制移位，左移乘以 2 的幂，右移除以 2 的幂并向下取整。1 << k 是快速算 2^k 的标准写法。

📝易错点提醒

移位量不能为负数：C++ 标准中，负数移位量是未定义行为（UB）
移位量不能超过类型位宽：int 是 32 位，n << 32 是 UB，必须确保移位量 < 32
右移负数：负数右移的行为依赖编译器实现（通常是算术右移，高位补 1），竞赛中尽量避免
优先级陷阱：n << 1 + 2 等价于 n << (1+2) 因为 + 优先级高于 <<，但建议加括号避免歧义
位移 vs 乘除：虽然位移更快，但现代编译器会自动优化 n*2 → n<<1，代码可读性优先

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